如圖，已知拋物線經過兩點，，是拋物線與軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）點在平面直角座標系第一象限內的拋...

問題詳情：

如圖，已知拋物線經過兩點，，是拋物線與軸的交點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點在平面直角座標系第一象限內的拋物線上運動，設的面積爲，求關於的函數表達式（指出自變量的取值範圍）和的最大值；

（3）點在拋物線上運動，點在軸上運動，是否存在點、點使得，且與相似，如果存在，請求出點和點的座標．

【回答】

（1）將、代入，

得：，解得：，

拋物線的解析式爲．

（2）過點作軸，交於點，如圖1所示．

當時，，

點的座標爲．

設直線的解析式爲，

將、代入，得：

，解得：，

直線的解析式爲．

設點的座標爲，則點的座標爲，

，

，

當時，面積取最大值，最大值爲．

點在平面直角座標系第一象限內的拋物線上運動，

．

（3）存在點、點使得，且與相似．

如圖2，，當點位於點上方，過點作軸於點，

，，

，

若與相似，則與相似，

設，，

，，

當時，，

，

解得，，

，

此時，

，

當時，，

，

解得，

，，

此時．

如圖3，當點位於點的下方，

過點作軸於點，

設，，

，，

同理可得：或，與相似，

解得或，

，或，

此時點座標爲或．

綜合以上得，，或，，或，，或，，使得，且與相似．

知識點：各地中考

題型：綜合題