問題詳情:
在三稜錐中,,二面角的餘弦值為,當三稜錐的體積的最大值為時,其外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
【回答】
B
【分析】
根據兩個*影,結合球的圖形,可知二面角的平面角為;根據題意可知當,時,三稜錐的體積最大.根據體積的最大值可求得BC的長,結合圖形即可求得球的半徑,進而求得表面積.
【詳解】
如圖,設球心在平面內的*影為,在平面內的*影為,
則二面角的平面角為,
點在截面圓上運動,點在截面圓上運動,
由圖知,當,時,三稜錐的體積最大,此時與是等邊三角形,
設,則,
,
,
,
解得,所以,
,,設,
則,
解得,
∴,
球的半徑,
所求外接球的表面積為,
故選B.
【點睛】
本題考查了三稜錐外接球的綜合應用,根據空間幾何關係求得球的半徑,進而求得表面積,對空間想象能力要求較高,屬於難題.
知識點:空間幾何體
題型:選擇題