如圖,一輛汽車從A市出發沿海岸一條筆直公路以每小時100km的速度向東勻速行駛,汽車開動時,在A市南偏東方向距...

問題詳情：

如圖,一輛汽車從A市出發沿海岸一條筆直公路以每小時100 km的速度向東勻速行駛,汽車開動時,在A市南偏東方向距A市500 km,且與海岸距離為300 km的海上B處有一艘快艇與汽車同時出發,要把一份文件交送給這輛汽車的司機.

(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把文件送到司機手中?

(2)求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角.

(3)若快艇每小時最快行駛75 km,快艇全速行駛 ,應沿何種路線行駛才能儘快把文件交到司機手中,最快需多長時間?

【回答】

解 (1)如圖①所示,設快艇以v km/h的速度從B處出發,沿BC方向行駛,t h後與汽車在C處相遇.

圖①

在△ABC中,AB=500,AC=100t,BC=vt,BD為AC邊上的高,BD=300.

設∠BAC=α,則sin α=,cos α=.

由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos α,

則v2t2=(100t)2+5002-2×500×100t×,

整理得v2=+10 000

=250 000+10 000-=250 000+3 600.

當,即t=時,=3 600,vmin=60.

即快艇至少以60 km/h的速度行駛才能把文件送到司機手中.

(2)當v=60 km/h時,在△ABC中,AB=500,AC=100×=625,BC=60×=375.

由余弦定理,得cos∠ABC==0,

則∠ABC=90°.

故快艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角為90°.

(3)如圖②所示,設快艇以75 km/h的速度沿BE行駛,t h後與汽車在E處相遇.

圖②

在△ABE中,AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE=.

由余弦定理,得(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100t×,

整理,得7t2-128t+400=0,解得t=4或t=(捨去).

當t=4時,AE=400,BE=300,AB2=AE2+BE2,

則∠AEB=90°.

故快艇應垂直於海岸向北行駛才能儘快把文件交到司機手中,最快需要4 h.

7．

知識點：解三角形

題型：解答題