如圖，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角．（1）*：AC...

問題詳情：

如圖，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角．

（1）*：AC⊥BO1；

（2）求二面角O﹣AC﹣O1的餘弦值．

【回答】

【解答】*：（1）由題設知OA⊥OO1，OB⊥OO1，

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB

從而AO⊥平面OBCO1，

OC是AC在面OBCO1內的*影

因為tan∠OO1A==，tan∠O1OC==，

所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，

從而OC⊥BO1

由三垂線定理得AC⊥BO1．

解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC

設OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC於F，連結O1F（如圖），

則EF是O1F在平面AOC 內的*影，

由三垂線定理得O1F⊥AC

所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角

由題設知OA=3，OO1=，O1C=1，

所以=2，AC==，

從而=，

又O1E=OO1•sin30°=，

所以sin∠O1FE==，

cos∠O1FE==，

∴二面角O﹣AC﹣O1的餘弦值為．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題