如圖①，已知直線y＝﹣2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．（1...

問題詳情：

如圖①，已知直線y＝﹣2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．

（1）求點A、C的座標；

（2）將△ABC對摺，使得點A的與點C重合，摺痕交AB於點D，求直線CD的解析式（圖②）；

（3）在座標平面內，是否存在點P（除點B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，請求出所有符合條件的點P的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）A（2，0）；C（0，4）；（2）；（3）存在，P的座標為（0，0）或 或.

【分析】

（1）已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交於點A、C，即可求得A和C的座標；

（2）根據題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點座標，最後即可求出CD的解析式；

（3）將點P在不同象限進行分類，根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的座標．

【詳解】

（1）（1）令y=0，則-2x+4=0，解得x=2， ∴A（2，0）， 令x=0，則y=4， ∴C（0，4）；

（2）由摺疊知：CD=AD．設AD=x，則CD=x，BD=4-x，

根據題意得：（4-x）2+22=x2解得：x=

此時，AD=，D(2，)

設直線CD為y=kx+4，把D(2，)代入得=2k+4

解得：k=-

∴該直線CD解析式為y=-x+4．

（3）①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）

②當點P在第一象限時，如圖，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，

則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD於點Q，

在Rt△ADP中，

AD=，PD=BD=4-=，AP=BC=2

由AD×PQ=DP×AP得：PQ=3

∴PQ=

∴xP=2+=，

把x=代入y=-x+4得y=

此時P(，)

（也可通過Rt△APQ勾股定理求AQ長得到點P的縱座標）

③當點P在第二象限時，如圖

同理可求得：CQ=

∴OQ=4-=

此時P(-，)

綜合得，滿足條件的點P有三個，

分別為：P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．

考點：一次函數綜合題．

知識點：一次函數

題型：解答題