問題詳情:
一球形人造衞星,其最大橫截面積為A、質量為m,在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動。由於受到稀薄空氣阻力的作用,導致衞星運行的軌道半徑逐漸變小。衞星在繞地球運轉很多圈之後,其軌道的高度下降了△H,由於△H <<R,所以可以將衞星繞地球運動的每一圈均視為勻速圓周運動。設地球可看成質量為M的均勻球體,萬有引力常量為G。取無窮遠處為零勢能點,當衞星的運行軌道半徑為r時,衞星與地球組成的系統具有的勢能可表示為。
(1)求人造衞星在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動的週期;
(2)某同學為估算稀薄空氣對衞星的阻力大小,做出瞭如下假設:衞星運行軌道範圍內稀薄空氣的密度為ρ,且為恆量;稀薄空氣可看成是由彼此不發生相互作用的顆粒組成的,所有的顆粒原來都靜止,它們與人造衞星在很短時間內發生碰撞後都具有與衞*同的速度,在與這些顆粒碰撞的前後,衞星的速度可認為保持不變。在滿足上述假設的條件下,請推導:
①估算空氣顆粒對衞星在半徑為R軌道上運行時,所受阻力F大小的表達式;
②估算人造衞星由半徑為R的軌道降低到半徑為R-△H的軌道的過程中,衞星繞地球運動圈數n的表達式。
【回答】
解:(1)設衞星在R軌道運行的週期為T,
根據萬有引力定律和牛頓第二定律有:(2分)
解得:(1分)
(2)①如圖所示,最大橫截面積為A的衞星,經過時間從圖中的實線位置運動到了圖中的虛線位置,該空間區域的稀薄空氣顆粒的質量為(1分)
以這部分稀薄空氣顆粒為研究對象,碰撞後它們都獲得了速度v,設飛船給這部分稀薄空氣顆粒的平均作用力大小為F,根據動量定理有:(1分)
根據萬有引力定律和牛頓第二定律有:,解得:
根據牛頓第三定律,衞星所受的阻力大小F′=。(1分)
②設衞星在R軌道運行時的速度為v動能為Ek1、勢能為Ep1、機械能為E1,
根據牛頓定律和萬有引力定律有:
衞星的動能,勢能
解得:
衞星高度下降ΔH,在半徑為(R-ΔH)軌道上運行,
同理可知其機械能
衞星軌道高度下降ΔH,其機械能的改變量(1分)
衞星機械能減少是因為克服空氣阻力做了功。設衞星在沿半徑為R的軌道運行一週過程中稀薄空氣顆粒作用於衞星的阻力做的功為W0,
利用小量累積的方法可知:(1分)
上式表明衞星在繞不同軌道運行一週,稀薄空氣顆粒所施加的阻力做的功是一恆量,與軌道半徑無關。
則ΔE=nW0(1分)
解得:(1分)
知識點:宇宙航行
題型:綜合題