已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交於兩點，且，拋物線的準線與軸交於，於點，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線於...

問題詳情：

已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交於兩點，且，拋物線的準線與軸交於，於點，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線於兩點，且，點為線段的垂直平分線與軸的交點，則點的橫座標的取值範圍為（    ）

A.     B.     C.     D.

【回答】

A

【解析】

【分析】

先根據拋物線的*質和四邊形AA1CF的面積為，求出p的值，再設M，N的座標，運用向量的座標運算，設直線l：x=my﹣1，並代入到y2=4x中，運用韋達定理，可得m和λ，運用對勾函數的單調*，可得4m2的範圍，求出MN的垂直平分線方程，令y=0，結合不等式的*質，即可得到所求範圍．

【詳解】過B作BB1⊥l於B1，設直線AB與l交點為D，

由拋物線的*質可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，

設BD=m，BF=n，則===，

即=，

∴m=2n．

又=，∴==，∴n=，

∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，

又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，

∴A1C=p，

∴直角梯形AA1CF的面積為（2p+p）•p=6，

解得p=2，

∴y2=4x，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

∵=λ，

∴y1=λy2，

設直線l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=4，

∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，

由①②可得4m2==λ++2，

由1＜λ≤2可得y=λ++2遞增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，

又MN中點（2m2﹣1，2m），

∴直線MN的垂直平分線的方程為y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），

令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，

故選：A．

【點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯繫起來，那麼用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：選擇題