如圖，拋物線與軸交於，與軸交於點．已知直線過兩點．（1）求拋物線和直線的表達式；（2）點是拋物線上的一個動點，...

問題詳情：

如圖，拋物線與軸交於，與軸交於點．已知直線過兩點．

（1）求拋物線和直線的表達式；

（2）點是拋物線上的一個動點，

①如圖，若點在第一象限內，連接，交直線於點．設的面積為，的面積為，求的最大值；

②如圖2，拋物線的對稱軸與軸交於點，過點作，垂足為．點是對稱軸上的一個動點，是否存在以點為頂點的四邊形是平行四邊形?

若存在，求出點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1），；（2）①；②存在，點P的座標為(2，)，點Q的座標為(1，2)或(1，)

【解析】

（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得拋物線的表達式，再求得點C的座標，把B(3，0)，C的座標代入即可求解；

（2）①設點D的座標為(，)，利用待定係數法求得直線PA的表達式為，解方程，求得點P的橫座標為，利用平等線分線段成比例定理求得，得到，利用二次函數的*質即可求解；

②根據等腰直角三角形的*質求得點的座標為(2，)，分當EF為邊和EF為對角線時兩種情況討論，即可求解．

【詳解】

（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：

，

解得：，

∴拋物線的表達式為，

令，則，

∴點C的座標為(0，3)，

把B(3，0)，C(0，3)代入得：

，

解得：，

∴直線的表達式為；

（2）①∵PA交直線BC於點，

∴設點D的座標為(，)，

設直線PA的表達式為，

∴，

解得：，

∴直線PA的表達式為，

∴，

整理得：，

解得：(不合題意，捨去)，

∴點D的橫座標為，點P的橫座標為，

分別過點D、P作x軸的垂線，垂足分別為M、N，如圖：

∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1，

∴

，

∵，

∴當時，分子取得最大值，即有最大值，最大值為；

②存在，理由如下：

作於G，如圖，

∵的對稱軸為：，

∴OE=1，

∵B(3，0)，C(0，3)

∵OC=OB=3，∠OCB=90，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∴EG=GB=EG=1，

∴點的座標為(2，)，

當EF為邊時，

∵EFPQ為平行四邊形，

∴QE=PF，QE∥PF∥軸，

∴點P的橫座標與點F的橫座標同為2，

當時，，

∴點P的座標為(2，)，

∴QE=PF=3-1=2，

點Q的座標為(1，2)；

當EF為對角線時，如圖，

∵四邊形PEQF為平行四邊形，

∴QE=PF，QE∥PF∥軸，

同理求得：點P的座標為(2，)，

∴QE=PF=3-1=2，

點Q的座標為(1，)；

綜上，點P的座標為(2，)，點Q的座標為(1，2)或(1，)；

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的解法，待定係數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的判定和*質，平行線公線段成比例定理，等高的三角形的面積的比等於底邊的比，二次函數的*質以及平行四邊形的對邊的判定和*質，（3）注意要分AB是對角線與邊兩種情況討論．

知識點：相似三角形

題型：綜合題