問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,直線與軸交於點,與軸交於點拋物線的對稱軸是直線與軸的交點為點且經過點兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點為拋物線對稱軸上一動點,當的值最小時,請你求出點的座標;
(3)拋物線上是否存在點,過點作軸於點使得以點為頂點的三角形與相似?若存在,請直接寫出點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1);(2);(3)存在;或或或
【解析】
【分析】
(1)由直線可得B、C兩點的座標,根據二次函數的對稱軸求得A點座標,可設拋物線的解析式為,將C點座標代入可求得a,即可得拋物線的解析式;
(2)根據絕對值的*質得出的值最小時,點為BC的垂直平分線與直線的交點,求得BC垂直平分線的解析式,聯立直線即可求得點;
(3)分四種情況進行討論,設出N的座標,根據相似三角形的對應邊成比例的*質,求得N的橫座標與縱座標的關係,然後聯立拋物線解析式即可求解.
【詳解】
解:∵直線與軸交於點,與軸交於點,
∴當y=0時,即,解得:x=4,則點B的座標為,
當x=0時,,則點C的座標為,
由二次函數的對稱*可知:點與點關於直線對稱,
∴點A的座標為,
∵拋物線與軸的交點為點,
∴可設拋物線的解析式為,
又∵拋物線過點,
∴,解得:,
∴
∴拋物線的解析式為;
(2)如圖1,連結CM、BM,作線段BC的垂直平分線分別交BC、直線於點,則N為BC中點;
由絕對值的*質可得:,
∴當的值最小時,即,則此時,
∴點M為與直線的交點,此時與重合,
設的解析式為:,
∵直線BC的解析式為:,
∴,解得:,則的解析式可化為:,
由得點N的座標為,
將代入得:
,解得:,
∴,
將代入,得,即,
∴當的值最小時,點的座標為,
(3)拋物線上存在點,使得以點為頂點的三角形與相似;
∵
∴,,,
∴,,
∵,
∴為直角三角形,,
∵軸,
∴,則,
如圖2所示,分四種情況,點的座標分別為,設點的座標為,
①當點在x軸的上方,要使,則,
則此時點與點C重合,則此時點與點O重合,
則,滿足題意,
∴此時點的座標為;
②當點在x軸的上方,要使,則,
∴,即,代入拋物線的解析式得:
,化簡得:,
解得:,(不符合題意,故舍去),
將代入拋物線解析式得:,
∴此時點的座標為;
③當點在x軸的下方,要使,則,
∴,即,代入拋物線的解析式得:
,化簡得:,
解得:,(不符合題意,故舍去),
將代入拋物線解析式得:,
∴此時點的座標為;
④當點在x軸的下方,要使,則,
∴,即,代入拋物線的解析式得:
,化簡得:,
解得:,(不符合題意,故舍去),
將代入拋物線解析式得:,
∴此時點的座標為;
綜上所述,拋物線存在點N的座標為或或或使得以點為頂點的三角形與相似.
【點睛】
本題主要考查了一次函數與二次函數的*質、相似三角形的*質,運用數形結合與分類討論的方法是解題的關鍵.
知識點:一次函數
題型:解答題