若實數a，b，c，d滿足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為...

問題詳情：

若實數a，b，c，d滿足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為（　　）

A．   B．8       C． D．2

【回答】

B【考點】函數的最值及其幾何意義．

【分析】化簡得b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；從而得（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna﹣a2﹣（c+2））2表示了點（a，3lna﹣a2）與點（c，c+2）的距離的平方；作函數圖象，利用數形結合求解．

【解答】解：∵（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，

∴b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；

∴（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna﹣a2﹣（c+2））2，

其表示了點（a，3lna﹣a2）與點（c，c+2）的距離的平方；

作函數y=3lnx﹣x2與函數y=x+2的圖象如下，

∵（3lnx﹣x2）′=﹣2x=；

故令=1得，x=1；

故切點為（1，﹣1）；

結合圖象可知，

切點到直線y=x+2的距離為=2；

故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為8；

故選：B．

知識點：*與函數的概念

題型：選擇題