問題詳情:
在①sinA=2sinB,②a+b=6,③ab=12.這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求出△ABC的面積;若問題中的三角形不存在,説明理由.問題:是否存在△ABC,它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,c=3,________.
【回答】
*見解析
【解析】
根據已知條件先求解出的值,若選條件①:使用正、餘弦定理求解出的值,然後利用三角形面積公式求解出三角形面積;若選條件②:利用餘弦定理結合已知條件求解出的值,再利用三角形面積公式求解出三角形的面積;若選條件③:先利用餘弦定理分析出的取值範圍,然後推出矛盾,説明三角形不存在.
【詳解】
解法一:由
結合正弦定理可得:
因為sinA≠0,所以
因為所以
因為,所以
因為C∈(0,π),所以,所以C=60°
解法二:由
結合正弦定理可得:
因為sinA≠0,所以
因為,C(0,π),所以或者(捨去)
所以A+B=2C,所以C=60°
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,所以9=a2+b2-ab
選擇條件①的解析:根據sinA=2sinB,結合正弦定理得a=2b
聯立方程組解得:
所以△ABC的面積
選擇條件②的解析:
聯立方程組,化簡得:解得
(注:沒有解出a,b,則需説明△ABC存在)
所以△ABC的面積
選擇條件③的解析:由9=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab得ab≤9
與ab=12矛盾,所以問題中的三角形不存在
【點睛】
本題考查解三角形與三角恆等變換的綜合應用,主要考查學生對於正、餘弦定理以及三角形面積公式的運用,難度一般.
知識點:三角函數
題型:解答題