問題詳情:
我們把對稱中心重合,四邊分別平行的兩個正方形之間的部分叫“方形環”,易知方形環四周的寬度相等.
一條直線l與方形環的邊線有四個交點M、M′、N′、N.小明在探究線段MM′與N′N 的數量關係時,從點M′、N′向對邊作垂線段M′E、N′F,利用三角形全等、相似及鋭角三角函數等相關知識解決了問題.請你參考小明的思路解答下列問題:
(1)當直線l與方形環的對邊相交時,如圖1,直線l分別交AD、A′D′、B′C′、BC於M、M′、N′、N,小明發現MM′與N′N相等,請你幫他説明理由;
(2)當直線l與方形環的鄰邊相交時,如圖2,l分別交AD、A′D′、D′C′、DC於M、M′、N′、N,l與DC的夾角為α,你認為MM′與N′N還相等嗎?若相等,説明理由;若不相等,求出的值(用含α的三角函數表示).
【回答】
解 (1)在方形環中,∵M′E⊥AD,N′F⊥BC,AD∥BC,
∴M′E=N′F,∠M′EM=∠N′FN=90°,
∠EMM′=∠FNN′,∴△MM′E≌△NN′F.
∴MM′=N′N.
(2)法一 ∵∠NFN′=∠MEM′=90°,
∠FNN′=∠EM′M=α,
∴△NFN′∽△M′EM,∴=.
∵M′E=N′F,∴==tan α.
①當α=45°時,tan α=1,則MM′=NN′;
②當α≠45°時,MM′≠NN′,則=tan α.
法二 在方形環中,∠D=90°.
又∵M′E⊥AD,N′F⊥CD,∴M′E∥DC,N′F=M′E.
∴∠MM′E=∠N′NF=α.
在Rt△NN′F與Rt△MM′E中,
sin α=,cos α=,即=tan α.
① 當α=45°時,MM′=NN′;
②當α≠45°時,MM′≠NN′,則=tan α.
知識點:相似三角形
題型:解答題