問題詳情:
閲讀材料:求解一元一次方程,需要根據等式的基本*質,把方程轉化為x=a的形式;求解二元一次方程組,需要通過消元把它轉化為一元一次方程來解;求解三元一次方程組,需要把它轉化為二元一次方程組來解;求解一元二次方程,需要把它轉化為兩個一元一次方程來解;求解分式方程,需要通過去分母把它轉化為整式方程來解,各類方程的解法不盡相同,但是它們都用到一種共同的基本數學思想﹣轉化,即把未知轉化為已知來求解.
用“轉化“的數學思想,我們還可以解一些新的方程.
例如,解一元三次方程x3+x2﹣2x=0,通過因式分解把它轉化為x(x2+x﹣2)=0,通過解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得原方程x3+x2﹣2x=0的解.
再例如,解根號下含有來知數的方程:=x,通過兩邊同時平方把它轉化為2x+3=x2,解得:x1=3,x2=﹣1.因為2x+3≥0,且x≥0,所以x=﹣1不是原方程的根,x=3是原方程的解.
(1)問題:方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= .
(2)拓展:求方程=x﹣1的解;
(3)應用:在一個邊長為1的正方形中構造一個如圖所示的正方形;在正方形ABCD邊上依次截取AE=BF=CG=DH=,連接AG,BH,CE,DF,得到正方形MNPQ,若小正方形MNPQ(圖中*影部分)的邊長為,求n的值.
【回答】
解:(1)∵x3+x2﹣2x=0,
∴x(x﹣1)(x+2)=0
∴x=0或x﹣1=0或x+2=0,
∴x1=0,x2=1,x3=﹣2,
故*為1,﹣2;
(2)給方程=x﹣1的兩邊平方得,3x2﹣3x﹣2=(x﹣1)2,
∴x=或x=﹣1,
∵3x2﹣3x﹣2≥0且x﹣1≥0,
∴x=﹣1不是原方程的解,x=是原方程的解;
(3)如圖,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,
CD∥AB,
∴∠AGD=∠GAB,
∵CG∥AE,CG=AE,
∴四邊形AECG是平行四邊形,
∴AG∥EC,點E作EW∥PQ交AQ於W,
∴四邊形PQWE是平行四邊形,
∴EW=PQ=,
∵四邊形MNPQ是正方形,
∴∠PQA=90°,
∴∠AWE=90°,
在Rt△ADG中,AD=1,DG=1﹣,
根據勾股定理得,AG===,
∴sin∠AGD==,
在Rt△AWD中,AE=,EW=,
∴sin∠EAW===,
∵∠AGD=∠EAW,
∴=,
兩邊平方得,,
∴2n2﹣2n+1=145,
∴n2﹣n﹣72=0,
∴(n﹣9)(n+8)=0,
∴n=9或n=﹣8(由於n>0,因此捨去),
∴n=9,
即:n的值為9.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:綜合題