問題詳情:
定義:如圖1,點M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M,N是線段AB的勾股分割點
(1)已知點M,N是線段AB的勾股分割點,若AM=3,MN=4求BN的長;
(2)已知點C是線段AB上的一定點,其位置如圖2所示,請在BC上畫一點D,使C,D是線段AB的勾股分割點(要求尺規作圖,保留作圖痕跡,畫出一種情形即可)
(3)如圖3,正方形ABCD中,M,N分別在BC,DC上,且BM≠DN,∠MAN=45°,AM,AN分別交BD於E,F
求*:①E、F是線段BD的勾股分割點;
②△AMN的面積是△AEF面積的兩倍.
【回答】
∵點M,N是線段AB的勾股分割點,
∴BM===,
②當BN為最大線段時,
∵點M,N是線段AB的勾股分割點,
∴BN===5,
綜上,BN=或5;
(2)作法:①在AB上截取CE=CA;
②作AE的垂直平分線,並截取CF=CA;
③連接BF,並作BF的垂直平分線,交AB於D;[來源:]
點D即為所求;如圖2所示.
(3)①如圖3中,將△ADF繞點A順時針*質90°得到△ABH,連接HE.
∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°,∠DAF=∠BAH,
∴∠EAH=∠EAF=45°,
∵EA=EA,AH=AF,
∴△EAH≌△EAF,
∴EF=HE,
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD,
∴∠HBE=90°,
在Rt△BHE中,HE2=BH2+BE2,
∵BH=DF,EF=HE,
∵EF2=BE2+DF2,
∴E、F是線段BD的勾股分割點.
②*:如圖4中,連接FM,EN.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,∠BDC=∠ADB=45°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠EDN,∵∠AFE=∠FDN,
∴△AFE∽△DFN,
∴∠AEF=∠DNF, =,
∴=,∵∠AFD=∠EFN,
∴△AFD∽△EFN,
∴∠DAF=∠FEN,
∵∠DAF+∠DNF=90°,
∴∠AEF+∠FEN=90°,
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形,
同理△AFM是等腰直角三角形;
∵△AEN是等腰直角三角形,同理△AFM是等腰直角三角形,
∴AM=AF,AN=AE,
∵S△AMN=AM•AN•sin45°,
S△AEF=AE•AF•sin45°,
∴==2,
∴S△AMN=2S△AEF.
知識點:圖形的旋轉
題型:綜合題