*作：如圖①，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交於點O，請利用圖①畫出一對以點O為對稱中心的全等三角形．...

問題詳情：

*作：如圖①，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交於點O，請利用圖①畫出一對以點O為對稱中心的全等三角形．

根據上述*作得到的經驗完成下列探究活動：

如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交於點F．試探究線段AB與AF、CF之間的等量關係，並*你的結論；

如圖③，DE、BC相交於點E，BA交DE於點A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=5，CF=1，求DF的長度．

【回答】

【解答】解：（1）如圖1，

（2）結論：AB=AF+CF．

*：如圖2，分別延長AE、DF交於點M．

∵E為BC的中點，

∴BE=CE，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠M，

在△ABE與△MCE中，

∵，

∴△ABE≌△MCE（AAS），

∴AB=MC，

又∵∠BAE=∠EAF，

∴∠M=∠EAF，

∴MF=AF，

又∵MC=MF+CF，

∴AB=AF+CF；

（3）如圖3，分別延長DE、CF交於點G．

∵AB∥CF，

∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，

∴△ABE∽△GCE，

∴，

又∵，

∴，

∵AB=5，

∴GC=10，

∵FC=1，

∴GF=9，

∵AB∥CF，

∴∠BAE=∠G，

又∵∠BAE=∠EDF，

∴∠G=∠EDF，

∴GF=DF，

∴DF=9．

知識點：相似三角形

題型：綜合題