如圖，已知直線與拋物線：相交於和點兩點.⑴.求拋物線的函數表達式；⑵.若點是位於直線上方拋物線上的一動點，以為...

問題詳情：

如圖，已知直線與拋物線： 相交於和點兩點.

⑴.求拋物線的函數表達式；

⑵.若點是位於直線上方拋物線上的一動點，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當平行四邊形的面積最大時，求此時四邊形的面積及點的座標；

⑶.在拋物線的對稱軸上是否存在定點,使拋物線上任意一點到點的距離等於到直線的距離，若存在，求出定點的座標；若不存在，請説明理由. 

【回答】

考點：二次函數的圖象及其*質、待定係數法、數學的建模思想、勾股定理、距離公式等.

分析：

本題的⑴利用“待定係數法”即可求出二次函數的解析式；本題的⑵抓住建立平行四邊形的面積是△的2倍，所以以△的面積建立一個二次函數來求出其最大面積，再進一步求出平行四邊形的最大面積；本題的⑶問主要先假設存在，再在此基礎上從特殊點切入利用距離公式進行探究其存在的可能*.

略解：

⑴. ∵和點兩點在拋物線上

∴  

解得

∴拋物線的表達式為：······ 4分

⑵. 設直線的解析式為

∵和點在直線上

∴     解得  ∴直線的解析式為····· 5分

如圖所示，過作軸交於

設 ，則 （ ）

∴，

∴△=△+=

∴△=

∴當 ，△的面積有最大值················ 8分

∴□MANB=△= ，此時.·············· 9分

⑶.存在. . ························ 10分

理由如下：令拋物線頂點為 ，則 ；則頂點到直線的距離為；

設，再設

設到直線的距離為,則

∵為拋物線上任意一點都有

∴當與頂點重合時，也有;則 ,即頂點到直線的距離為 .

∴ ，此時

∴······························· 12分

∵ ∴

∵，

∴

整理化簡可得∴當時，無論取任何實數，均有.··· 14分

點評：

本題的⑴問利用待定係數法即可獲得解決；本

題⑵問是數學建模思想的運用，本問比較巧妙的是

知識點：各地中考

題型：綜合題