.已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等於2.（Ⅰ...

問題詳情：

.已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等於2.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）點在直線上運動，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得恆成立？若存在，請求出定點的座標，若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，

由拋物線定義知，所以，

顯見的最小值即為點到直線的距離，故，

所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當點在特殊位置時，顯見兩個切點關於軸對稱，故要使得，點必須在軸上．

故設，，，，

拋物線的方程為，求導得，所以切線的斜率，

直線的方程為，又點在直線上，

所以，整理得，

同理可得，

故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，

，

可見時，恆成立，

所以存在定點，使得恆成立．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題