已知三稜錐的所有稜長都是，四個頂點、、、都在球的球面上，記球的表面積是，過稜的平面被球截得的截面面積的最小值為...

問題詳情：

已知三稜錐的所有稜長都是，四個頂點、、、都在球的球面上，記球的表面積是，過稜的平面被球截得的截面面積的最小值為，則的值為__________.

【回答】

【分析】

求出三稜錐的外接球的半徑，可求出的值，結合球的幾何*質可知，當為截面圓的直徑時，過稜的平面被球截得的截面面積最小，可求得的值，由此可求得的值.

【詳解】

由題意知，三稜錐是正三稜錐，取的中點，連接，如圖所示：

設點在底面內的投影是，球的半徑為，

由於是邊長為的等邊三角形，則，

，，

所以，解得，

所以球的表面積是.

易知當稜是截面圓的直徑時，過稜的平面被球截得的截面面積取最小值，所以.

故*為：.

【點睛】

本題考查正三稜錐的外接球表面積的計算，同時也考查了球的截面圓面積的計算，考查計算能力，屬於中等題.

知識點：空間幾何體

題型：填空題