问题详情:
(1)讨论函数的单调*;
(2)对于任意正实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在最小的正常数,使得:当时,对于任意正实数,不等式恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理*.
</span
【回答】
⑵由于,所以.构造函数,则令,得.当时,;当时,.所以函数在点处取得最小值,即.
因此所求的的取值范围是. (7分)
⑶结论:这样的最小正常数存在. 解释如下:
.
构造函数,则问题就是要求恒成立. (9分)
对于求导得 .
令,则,显然是减函数.
又,所以函数在上是增函数,在上是减函数,而,
,.
所以函数在区间和上各有一个零点,令为和,并且有: 在区间和上,即;在区间上,即. 从而可知函数在区间和上单调递减,在区间上单调递增. ,当时,;当时,. 还有是函数的极大值,也是最大值.
题目要找的,理由是:
当时,对于任意非零正数,,而在上单调递减,所以一定恒成立,即题目所要求的不等式恒成立,说明;
当时,取,显然且,题目所要求的不等式不恒成立,说明不能比小.
综合可知,题目所要寻求的最小正常数就是,即存在最小正常数,当时,对于任意正实数,不等式恒成立. (12分)
( 注意:对于和的存在*也可以如下处理:
令,即. 作出基本函数和 的图像,借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和,且,(实际上),可知函数在区间和上单调递减,在区间上单调递增.,当时,;当时,. 还有是函数的极大值,也是最大值. )
</span
知识点:基本初等函数I
题型:解答题