已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(,0),点M(-,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方...

问题详情：

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(,0),点M(-,)在椭圆

C上.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,过原点O作直线l的垂线,垂足为P,如果△OAB的面积为(λ为实数),求λ的值.

【回答】

解:(1)由题意知c=.

根据椭圆的定义得2a=+,

即a=2.

所以b2=4-3=1.

所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)由题意知△ABO的面积S△ABO=|AB|·|OP|=,

整理得λ=|OP|2-.

①当直线l的斜率不存在时,l的方程是x=.

此时|AB|=1,|OP|=,

所以λ=|OP|2-=-1.

②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程是y=k(x-),

设A(x1,y1),B(x2,y2),

由

可得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0,

显然Δ>0,

则

因为y1=k(x1-),y2=k(x2-),

所以|AB|=

=

=

=.

所以|OP|2=()2=,

此时,λ=-=-1.

综上所述,λ的值为-1.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题