問題詳情:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.點D在直線CB上,以CA,CD為邊作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點分別為F,G.
(1)如圖,點D在線段CB上,四邊形ACDE是正方形.
①若點G為DE的中點,求FG的長.
②若DG=GF,求BC的長.
(2)已知BC=9,是否存在點D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求該三角形的腰長;若不存在,試説明理由.
【回答】
.解:(1)①在正方形ACDE中,DG=GE=6,
中Rt△AEG中,AG==6,
∵EG∥AC,
∴△ACF∽△GEF,
∴=,
∴==,
∴FG=AG=2.
②如圖1中,正方形ACDE中,AE=ED,∠AEF=∠DEF=45°,
∵EF=EF,
∴△AEF≌△DEF,
∴∠1=∠2,設∠1=∠2=x,
∵AE∥BC,
∴∠B=∠1=x,
∵GF=GD,
∴∠3=∠2=x,
在△DBF中,∠3+∠FDB+∠B=180°,
∴x+(x+90°)+x=180°,
解得x=30°,
∴∠B=30°,
∴在Rt△ABC中,BC==12.
(2)在Rt△ABC中,AB===15,
如圖2中,當點D中線段BC上時,此時只有GF=GD,
∵DG∥AC,
∴△BDG∽△BCA,
設BD=3x,則DG=4x,BG=5x,
∴GF=GD=4x,則AF=15﹣9x,
∵AE∥CB,
∴△AEF∽△BCF,
∴=,
∴=,
整理得:x2﹣6x+5=0,
解得x=1或5(捨棄)
∴腰長GD=4x=4.
如圖3中,當點D中線段BC的延長線上,且直線AB,CE的交點中AE上方時,此時只有GF=DG,設AE=3x,則EG=4x,AG=5x,
∴FG=DG=12+4x,
∵AE∥BC,
∴△AEF∽△BCF,
∴=,
∴=,
解得x=2或﹣2(捨棄),
∴腰長DG=4x+12=20.
如圖4中,當點D在線段BC的延長線上,且直線AB,EC的交點中BD下方時,此時只有DF=DG,過點D作DH⊥FG.
設AE=3x,則EG=4x,AG=5x,DG=4x+12,
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=(4x+12)×=,
∴GF=2GH=,
∴AF=GF﹣AG=,
∵AC∥DG,
∴△ACF∽△GEF,
∴=,
∴=,
解得x=或﹣(捨棄)
∴腰長GD=4x+12=,
如圖5中,當點D中線段CB的延長線上時,此時只有DF=DG,作DH⊥AG於H.
設AE=3x,則EG=4x,AG=5x,DG=4x﹣12,
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=,
∴FG=2FH=,
∴AF=AG﹣FG=,
∵AC∥EG,
∴△ACF∽△GEF,
∴=,
∴=,
解得x=或﹣(捨棄),
∴腰長DG=4x﹣12=,
綜上所述,等腰△DFG的腰長為4或20或或.
知識點:相似三角形
題型:解答題