如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點A的直線CD⊥MN於點D，連接BD．（1...

問題詳情：

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點A的直線CD⊥MN於點D，連接BD．

（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什麼數量關係．經過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點B作BE⊥BD，交MN於點E，進而得出：DC+AD=　　BD．

（2）探究*

將直線MN繞點A順時針旋轉到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數量關係，並*

（3）拓展延伸

在直線MN繞點A旋轉的過程中，當△ABD面積取得最大值時，若CD長為1，請直接寫BD的長．

【回答】

（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．

【分析】

（1）根據全等三角形的*質求出DC，AD，BD之間的數量關係

（2）過點B作BE⊥BD，交MN於點E．AD交BC於O，

*，得到，，

根據為等腰直角三角形，得到，

再根據，即可解出*.

（3）根據A、B、C、D四點共圓，得到當點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側時，△ABD的面積最大．

在DA上截取一點H，使得CD=DH=1，則易*，

由即可得出*.

【詳解】

解：（1）如圖1中，

由題意：，

∴AE=CD，BE=BD，

∴CD+AD=AD+AE=DE，

∵是等腰直角三角形，

∴DE=BD，

∴DC+AD=BD，

故*為．

（2）．

*：如圖，過點B作BE⊥BD，交MN於點E．AD交BC於O．

∵，

∴，

∴．

∵，，，

∴，

∴．又∵，

∴，

∴，，

∴為等腰直角三角形，．

∵，

∴．

（3）如圖3中，易知A、B、C、D四點共圓，當點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側時，△ABD的面積最大．

此時DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一點H，使得CD=DH=1，則易*，

∴．

【點睛】

本題主要考查全等三角形的*質，等腰直角三角形的*質以及圖形的應用，正確作輔助線和熟悉圖形特*是解題的關鍵.

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題