如圖，ΔABC中，AB=AC，∠A=40O，延長AC到D，使CD=BC，點P是ΔABD的內心，則∠BPC=（ ...

問題詳情：

如圖，ΔABC中，AB=AC，∠A=40O，延長AC到D，使CD=BC，點P是ΔABD的內心，則∠BPC=（    ）

A．105°                      B．110°                       C．130°                      D．145°

【回答】

D

【分析】

已知P為△ABD的內心，則P點必在∠BAC的角平分線上，由於AB=AC，根據等腰三角形的*質可知：P點必在BC的垂直平分線上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度數．等腰△ABC中，已知了頂角∠A的度數，可求得∠ABC、∠ACB的度數；由於CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度數；由於P是△ABD的內心，則PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度數，根據∠PBC=∠PBD-∠CBD可求出∠PBC的度數，由此得解．

【詳解】

解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；

∴∠ABC=∠ACB=70°；

∵P是△ABD的內心，

∴P點必在等腰△ABC底邊BC的垂直平分線上，

∴PB=PC，∠BPC=180°-2∠PBC；

在△CBD中，CB=CD，

∴∠CBD=∠D=∠ACB=35°；

∵P是△ABD的內心，

∴PB平分∠ABD，

∴∠PBD=∠ABD=（∠ABC+∠CBD）=52.5°，

∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°；

∴∠BPC=180°-2∠PBC=145°．

故選D．

【點睛】

本題考查三角形的內切圓與內心；等腰三角形的*質．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：選擇題