如圖，△ABC的內接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC=∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD於E，交A...

問題詳情：

如圖，△ABC的內接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC=∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD於E，交AB於F，交⊙O於G．

（1）判斷直線PA與⊙O的位置關係，並説明理由；

（2）求*：AG2=AF•AB；

（3）求若⊙O的直徑為10，AC=2，求AE的長．

【回答】

（1）PA與⊙O相切．

理由：連接CD

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°

∴∠D+∠CAD=90°

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B

∴∠PAC=∠D，

∴∠PAC+∠CAD=90°

即DA⊥PA

∵點A在圓上，

∴PA與⊙O相切．

（2）*：如圖2，連接BG

∵AD為⊙O的直徑，CG⊥AD

∴AC弧與AG弧相等

∴∠AGF=∠ABG

∵∠GAF=∠BAG

∴△AGF∽△ABG

∴AG：AB=AF：AG

∴AG2=AB•AF

（3）解：∵AD是直徑，CG⊥AD

∴∠ACD=∠AEC=90°

∵∠CAD=∠EAC

∴△ACD∽△AEC

∴

即

∴AE=2

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題