如圖①，正方形ABCD中，點A，B的座標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD...

問題詳情：

如圖①，正方形ABCD中，點A，B的座標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D→A勻速運動，同時動點Q以相同的速度在x軸正半軸上運動，當點P到達A點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．

(1)當P點在邊AB上運動時點Q的橫座標x（長度單位）關於運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的座標及點P運動速度；

(2)求正方形邊長及頂點C的座標；   

(3)在（1）中，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關係式並寫出自變量的取值範圍．   

(4)如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請説明理由．   

【回答】

（1）解：如圖①，過B作BF⊥OA於F， ∵A（0，10）， ∴OA=10， ∵B（8，4）， ∴BF=8，OF=4， ∴AF=10﹣4=6， ∴AB=10， 由圖②知：點P在邊AB上運動時間為10秒，所以速度為：10÷10=1， Q（1，0）， 則點P運動速度為每秒1個單位長度； （2）解：如圖③，過B作BF⊥y軸於點F，BE⊥x軸於點E，則BF=8，OF=BE=4， 由（1）知：AF=6，AB=10； 過C作CG⊥x軸於點G，與FB的延長線交於點H， ∵∠ABC=90°，AB=BC， ∴△ABF≌△BCH， ∴BH=AF=6，CH=BF=8， ∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12， ∴所求C點的座標為（14，12）； （3）解：過點P作PM⊥y軸於點M，PN⊥x軸於點N， ∴PM∥BF， 則△APM∽△ABF， ∴ ， ∴ = = ， ∴AM= ，PM= t， ∴PN=OM=10﹣ t，ON=PM= t， ∴S=S△OPQ= PN•OQ = ×（10﹣ t）（1+t）=﹣ （0≤t≤10）； （4）解：OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫座標等於Q點的橫座標的一半時，滿足條件； ①當P在AB上時，如圖③， t= （t+1），t= ，OP與PQ相等， ②當P在BC上時，如圖④，則PB=t﹣10， sin∠ABF=sin∠BPM= ， ∴ ， ∴BM= （t﹣10）， ∴ON=BF+BM=8+ （t﹣10）， 8+ （t﹣10）= （t+1），解得：t=﹣15（舍）， ③當P在CD上時，如圖⑤，則PC=t﹣20， cos∠PCR=cos∠BCH= ， ∴ ， ∴CR=MH= （t﹣20）， ∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣ （t﹣20）， 14﹣ （t﹣20）= （t+1），解得：t= ， 即當t= 時，OP=PQ， 綜上所述，當t= 或 時，OP與PQ相等．                    【考點】全等三角形的*質，全等三角形的判定，相似多邊形的*質，相似三角形的判定                【解析】【分析】（1）由A和B兩點的座標求正方形邊長AB，由圖②得：P在邊AB上運動10秒，Q開始運動時，橫座標為1；（2）由（1）知，正方形邊長為10，根據三角形全等得：BH=AF=6，CH=BF=8，所以可得OG=14，CG=12，寫出C點的座標；（3）作輔助線，*△APM∽△ABF，列比例式得：AM= ，PM= t，根據面積公式可得S與t的關係式；（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫座標等於Q點的橫座標的一半；分三種情況進行討論：點P分別在AB、BC、CD上時，根據這一等量關係列式可得t的值．

知識點：相似三角形

題型：綜合題