在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動．（1）如圖1，當點...

問題詳情：

在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動．

（1）如圖1，當點E在邊DC上自D向C移動，同時點F在邊CB上自C向B移動時，連接AE和DF交於點P，請你寫出AE與DF的數量關係和位置關係，並説明理由；

（2）如圖2，當E，F分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需*）；連接AC，請你直接寫出△ACE為等腰三角形時CE：CD的值；

（3）如圖3，當E，F分別在直線DC，CB上移動時，連接AE和DF交於點P，由於點E，F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最大值．

【回答】

【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動，

∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴△ADE≌△DCF，

∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADP+∠CDF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°﹣90°=90°，

∴AE⊥DF；

（2）

（1）中的結論還成立，CE：CD=或2，

理由是：有兩種情況：

①如圖1，當AC=CE時，

設正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC=CE==a，

則CE：CD=a：a=；

②如圖2，當AE=AC時，

設正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：AC=AE==a，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，

∴DE=CD=a，

∴CE：CD=2a：a=2；

即CE：CD=或2；

（3）∵點P在運動中保持∠APD=90°，

∴點P的路徑是以AD為直徑的圓，

如圖3，設AD的中點為Q，連接CQ並延長交圓弧於點P，此時CP的長度最大，

∵在Rt△QDC中，QC===，

∴CP=QC+QP=+1，

即線段CP的最大值是+1．

【點評】本題考查了正方形的*質，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的*質和判定，等腰三角形的*質，三角形的內角和定理的應用，能綜合運用*質進行推理是解此題的關鍵，用了分類討論思想，難度偏大．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題