問題詳情:
如圖所示,在平面直角座標系中,點B的座標是(﹣1,0),點C的座標是(1,0),點D為y軸上一點,點A為第二象限內一動點,且∠BAC=2∠BDO,過D作DM⊥AC於點M.
(1)求*:∠ABD=∠ACD.
(2)若點E在BA延長線上,求*:AD平分∠CAE.
(3)當A點運動時,的值是否發生變化?若不變化,請求出其值;若變化,請説明理由.
【回答】
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)在△ABC中,∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC=180﹣2∠BDO①;連接CD,*出BD=CD,在△BCD中,∠ACD+∠ACB+∠CBD=180﹣2∠BDO②;由一樣會②即可得出結論;
(2)過D作DN⊥BE於N,由AAS*△BDN≌△CDM,得出∵DM⊥AC,DM=DN,即可得出結論;
(3)由全等三角形的*質得出BN=CM;*出AN=AM;得出AC=AB=2AM,即可得出結論.
【解答】(1)*:在△ABC中,∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC,
∵∠BAC=2∠BDO,
∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC=180﹣2∠BDO①;
∵點B的座標是(﹣1,0),點C的座標是(1,0),
∴OB=OC,∵DO⊥BC,
∴BD=CD,
∴∠BDO=∠CDO,∠BDC=2∠BDO,
連接CD,在△BCD中,∠ACD+∠ACB+∠CBD=180﹣2∠BDO②;
①﹣②得:∠ABD﹣∠ACD=0,
∴∠ABD=∠ACD;
(2)*:過D作DN⊥BE於N,如圖所示:
∵DM⊥AC,
∴∠DNB=∠DMC=90°,
在△BDN和△CDM中,,
∴△BDN≌△CDM(AAS),
∴DN=DM,
∴AD是∠CAE的角平分線,
即AD平分∠CAE;
(3)解:∵△BDN≌△CDM,
∴BN=CM;
由AD是∠CAE的角平分線,得AN=AM;
又BN=AN+AB=AM+AB; CM=AC﹣AM;
∴AC=AB=2AM,
∴=2,
即的值是定值2.
知識點:與三角形有關的線段
題型:解答題