用長為18m的鋼條圍成一個長方體容器的框架,如果所制的容器的長與寬之比為2∶1,那麼高為多少時容器的體積最大?...

問題詳情：

用長為18m的鋼條圍成一個長方體容器的框架,如果所制的容器的長與寬之比為2∶1,那麼高為多少時容器的體積最大?並求出它的最大體積.

【回答】

【解析】設長方體的寬為xm,則長為2xm,高為(4.5-3x)m.

由解得0<x<,

故長方體的體積為

V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3,從而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x),

令V′(x)=0,解得x=1或x=0(捨去),

當0<x<1時,V′(x)>0;

當1<x<時,V′(x)<0,

故在x=1處V(x)取得極大值,並且這個極大值就是V(x)的最大值,

從而最大體積為V(1)=9×12-6×13=3(m3),

此時容器的高為4.5-3=1.5(m).

因此,容器高為1.5m時容器的體積最大,最大體積為3m3.

知識點：導數及其應用

題型：解答題