問題詳情:
對於平面直角座標系xOy中的點P和圖形G,給出如下定義:將點P沿向右或向上的方向平移一次,平移距離為d(d>0)個長度單位,平移後的點記為P′,若點P′在圖形G上,則稱點P為圖形G的“達成點”.特別地,當點P在圖形G上時,點P是圖形G的“達成點”.例如,點P(﹣1,0)是直線y=x的“達成點”.
已知⊙O的半徑為1,直線l:y=﹣x+b.
(1)當b=﹣3時,
①在O(0,0),A(﹣4,1),B(﹣4,﹣1)三點中,是直線l的“達成點”的是:_____;
②若直線l上的點M(m,n)是⊙O的“達成點”,求m的取值範圍;
(2)點P在直線l上,且點P是⊙O的“達成點”.若所有滿足條件的點P構成一條長度不為0的線段,請直接寫出b的取值範圍.
【回答】
(1)①A,B;②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1;(2)﹣2≤b<.
【分析】
(1)①根據“達成點”的定義即可解決問題.
②過點(0,1)和點(0,﹣1)作x軸的平行線分別交直線l於M1,M2,過點(1,0)和點(﹣1,0)作y軸的平行線分別交直線l於M3,M4,由此即可判斷.
(2)當M2與M3重合,座標為(﹣1,﹣1)時,﹣1=1+b,可得b=﹣2;當直線l與⊙O相切時,設切點為E,交y軸於F,求出點E的座標,即可判斷.
【詳解】
(1)①∵b=﹣3時,直線l:y=﹣x﹣3,
∴直線l與x軸的交點為:(﹣3,0),直線l與y軸的交點為:(0,﹣3),
∴O(0,0)在直線l的上方,
∴O(0,0)不是直線l的“達成點”,
∵當x=﹣4時,y=4﹣3=1,
∴點A(﹣4,1)在直線l上,
∴點A是直線l的“達成點”,
∵點B(﹣4,﹣1)在直線l的下方,把點B(﹣4,﹣1)向上平移2個長度單位為(﹣4,1),
∴點B是直線l的“達成點”,
故*為:A,B;
②設直線l:y=﹣x﹣3,分別與直線y=1、y=﹣1、x=﹣1、x=1依次交於點M1、M2、M3、M4,如圖1所示:
則點M1,M2,M3,M4的橫座標分別為﹣4、﹣2、﹣1、1,
線段M1M2上的點向右的方向平移與⊙O能相交,線段M3M4上的點向上的方向平移與⊙O能相交,
∴線段M1M2和線段M3M4上的點是⊙O的“達成點”,
∴m的取值範圍是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1;
(2)如圖2所示:
當M2與M3重合,座標為(﹣1,﹣1)時,﹣1=1+b,∴b=﹣2;
②當直線l與⊙O相切時,設切點為E,交y軸於F.
由題意,在Rt△OEF中,∠OEF=90°,OE=1,∠EOF=45°,
∴△OEF是等腰直角三角形,
∴OF=OE=;
觀察圖象可知滿足條件的b的值為﹣2≤b<.
【點睛】
本題是圓的綜合題,考查了直線與圓的位置關係,點P為圖形G的“達成點”的定義、等腰直角三角形的判定與*質、切線的*質等知識,解題的關鍵是理解題意,屬於中考壓軸題.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題