對於平面直角座標系xOy中的定點P和圖形F，給出如下定義：若在圖形F上存在一點N，使得點Q，點P關於直線ON對...

問題詳情：

對於平面直角座標系xOy中的定點P和圖形F，給出如下定義：若在圖形F上存在一點N，使得點Q，點P關於直線ON對稱，則稱點Q是點P關於圖形F的定向對稱點．

（1）如圖，，，，

①點P關於點B的定向對稱點的座標是      ；

②在點，，中，______是點P關於線段AB的定向對稱點．

（2）直線分別與x軸，y軸交於點G，H，⊙M是以點為圓心，為半徑的圓．

①當時，若⊙M上存在點K，使得它關於線段GH的定向對稱點在線段GH上，求的取值範圍；

②對於，當時，若線段GH上存在點J，使得它關於⊙M的定向對稱點在⊙M上，直接寫出b的取值範圍．

【回答】

（1）①；②點C，D；（2）① 或；②．

【分析】

（1）①求出點P關於直線OB的對稱點G即可．

②求出OP，OC，OD，OE的長即可判斷．

（2）①求出兩種特殊位置b的值即可．如圖2中，作⊙M關於y軸的對稱圖形⊙M′，當直線GH與⊙M′在第一象限相切時，設切點為P，連接PM′．如圖3中，以O為圓心，3為半徑作⊙O，當直線GH與⊙O在第四象限點相切於點P時，連接OP，分別求出OH的值即可解決問題．

②如圖4中，設⊙M交x軸於K，T，則K（﹣1，0），T（5，0）．求出兩種特殊位置b的值即可判斷．

【詳解】

解：（1）①如圖1中，

∵P（0，2），B（1，1），

∴點P關於OB的對稱點G（2，0），

故*為：（2，0）．

②∵點C（0，﹣2），D（1，﹣），E（2，﹣1），

∴OP＝2，OD＝2，OC＝2，OE＝，

∴OP＝OD＝OC，

∴點C，D是點P關於線段AB的定向對稱點．

故*為：點C，D．

（2）①如圖2中，作⊙M關於y軸的對稱圖形⊙M′，當直線GH與⊙M′在第一象限相切時，設切點為P，連接PM′，

當b＞0時，

由題意得：tan∠HGO＝，

∴∠PGM＝30°，

∵PM′＝1，∠MPG＝90°，

∴MG＝2MP＝2，

∴OG＝GM+OM＝4，

∴OH＝OG•tan30°＝，

當直線經過（-1，0）時， .

∴

若b＜0時，

噹噹直線經過（1，0）時， .

如圖3中，以O為圓心，3為半徑作⊙O，當直線GH與⊙O在第四象限點相切於點P時，連接OP，

同法可得OH＝2，∴

觀察圖象可知滿足條件的b的值：﹣2≤b≤．

綜上所述，b的取值範圍是 或.

②如圖4中，設⊙M交x軸於K，T，則K（﹣1，0），T（5，0）．

以O為圓心，5為半徑作⊙O，當直線GH與⊙O在第二象限相切於點J時，

可得OH＝，

此時直線GH的解析式為y＝x+，

當直線GH經過點K（﹣1，0）時，0＝﹣+b，

可得b＝，

此時直線GH的解析式為y＝x+，

觀察圖象可知滿足條件的b的值為：≤b≤．

【點睛】

本題屬於一次函數綜合題，考查了定向對稱點的定義，直線與圓的位置關係，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題，學會利用特殊位置解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：一次函數

題型：解答題