對於定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：①f（x）在[m，n]上是單調函數；②...

問題詳情：

對於定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]上是單調函數；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．

則稱[m，n]是該函數的“等域區間”．

（1）求*：函數不存在“等域區間”；

（2）已知函數（a∈R，a≠0）有“等域區間”[m，n]，求實數a的取值範圍．

【回答】

（1）*：設[m，n]是已知函數定義域的子集．

∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），

故函數在[m，n]上單調遞增．

若[m，n]是已知函數的“等域區間”，則

故m、n是方程的同號的相異實數根．

∵x2﹣3x+5=0無實數根，

∴函數不存在“等域區間”．（6分）

（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集，

∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），

故函數在[m，n]上單調遞增．

若[m，n]是已知函數的“等域區間”，則

故m、n是方程，即a2x2﹣（2a+2）x+1=0的同號的相異實數根．

∵，∴m，n同號，故只需△=（﹣（2a+2））2﹣4a2=8a+4＞0，

解得，

∴實數a的取值範圍為

知識點：*與函數的概念

題型：解答題