已知冪函數f(x)=(m∈Z)為偶函數,且在區間(0,+∞)上是單調增函數.(1)求函數f(x)的解析式;(2...

問題詳情：

已知冪函數f(x)=(m∈Z)為偶函數,且在區間(0,+∞)上是單調增函數.

(1)求函數f(x)的解析式;

(2)設函數g(x)=+2x+c,若g(x)>2對任意的x∈R恆成立,求實數c的取值範圍.

【回答】

解:(1)因為f(x)在區間(0,+∞)上是單調增函數,

所以-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,

解得-1<m<3.

又m∈Z,

所以m=0,1,2.

而當m=0或2時,f(x)=x3不是偶函數;

當m=1時,f(x)=x4是偶函數.

故函數f(x)的解析式為f(x)=x4.

(2)由(1)知f(x)=x4,

則g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).

因為g(x)>2對任意的x∈R恆成立,

所以g(x)min>2,且x∈R.

又g(x)min=g(-1)=c-1,

所以c-1>2,解得c>3.

故實數c的取值範圍是(3,+∞).

知識點：基本初等函數I

題型：解答題