設函數f(x)＝ax－－2lnx.(1)若f′(2)＝0，求f(x)的單調區間；(2)若f(x)在定義域上是增...

問題詳情：

設函數f(x)＝ax－－2ln x.

(1)若f′(2)＝0，求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)在定義域上是增函數，求實數a的取值範圍．

【回答】

解：(1)因為f(x)的定義域為(0，＋∞)，

f′(2)＝0，且f′(x)＝a＋－，

所以a＋－1＝0，所以a＝.

所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，

由f′(x)＞0結合x＞0，

得0＜x＜或x＞2；

由f′(x)＜0及x＞0，得＜x＜2.

所以f(x)在區間和(2，＋∞)內是增函數，

在區間內是減函數．

(2)若f(x)在定義域上是增函數，

則f′(x)≥0對x＞0恆成立，

因為f′(x)＝

所以需x＞0時ax2－2x＋a≥0恆成立．

化為a≥對x＞0恆成立．

因為＝≤1，若且唯若x＝1時取等號，

所以a≥1.

知識點：導數及其應用

題型：解答題