我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E...

問題詳情：

我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形． （1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點． 求*：中點四邊形EFGH是平行四邊形； （2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，並*你的猜想； （3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀．（不必*）

【回答】

 （1）*：如圖1中，連接BD． ∵點E，H分別為邊AB，DA的中點， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵點F，G分別為邊BC，CD的中點， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中點四邊形EFGH是平行四邊形． （2）四邊形EFGH是菱形． *：如圖2中，連接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ， ∴△APC≌△BPD， ∴AC=BD ∵點E，F，G分別為邊AB，BC，CD的中點， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四邊形EFGH是平行四邊形， ∴四邊形EFGH是菱形． （3）四邊形EFGH是正方形． *：如圖2中，設AC與BD交於點O．AC與PD交於點M，AC與EH交於點N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四邊形EFGH是菱形， ∴四邊形EFGH是正方形．  

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題