問題詳情:
.圖一是美麗的“勾股樹”,它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到.圖二是第1代“勾股樹”,重複圖二的作法,得到圖三為第2代“勾股樹”,以此類推,已知最大的正方形面積為1,則第代“勾股樹”所有正方形的個數與面積的和分別為( )
A. B. C. D.
【回答】
A
【解析】
【分析】
第1代“勾股樹”中,小正方形的個數3=21+1﹣1=3,所有正方形的面積之和為2=(1+1)×1,第2代“勾股樹”中,小正方形的個數7=22+1﹣1,所有的正方形的面積之和為3=(2+1)×1,以此類推,第n代“勾股樹”所有正方形的個數為2n+1﹣1,第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為:(n+1)×1=n+1.
【詳解】解:第1代“勾股樹”中,小正方形的個數3=21+1﹣1=3,
如圖(2),設直角三角形的三條邊長分別為a,b,c,
根據勾股定理得a2+b2=c2,
即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1,
所有正方形的面積之和為2=(1+1)×1,
第2代“勾股樹”中,小正方形的個數7=22+1﹣1,
如圖(3),正方形E的面積+正方形F的面積=正方形A的面積,
正方形M的面積+正方形N的面積=正方形B的面積,
正方形E的面積+正方形F的面積+正方形M的面積+正方形N的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1,
所有的正方形的面積之和為3=(2+1)×1,
…
以此類推,第n代“勾股樹”所有正方形的個數為2n+1﹣1,
第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為:(n+1)×1=n+1.
故選:A.
知識點:基本初等函數I
題型:選擇題