在區間[0,1]上給定曲線y＝x2，如圖所示，試在此區間內確定點t的值，使圖中的*影部分的面積S1與S2之和最...

問題詳情：

在區間[0,1]上給定曲線y＝x2，如圖所示，試在此區間內確定點t的值，使圖中的*影部分的面積S1與S2之和最小．

【回答】

解　面積S1等於邊長為t與t2的矩形的面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t圍成的面積，

即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.

面積S2等於曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2，(1－t)，

即S2＝ʃx2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.

所以*影部分面積S為：

S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，

由S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0，

得t＝0，或t＝.

由於當0<t<時，S′(t)<0；

當<t<1時，S′(t)>0，

所以S(t)在0<t<上單調遞減，

在<t<1上單調遞增．

所以當t＝時，S最小，即圖中*影部分的面積S1與S2之和最小．

知識點：導數及其應用

題型：解答題