問題詳情:
先閲讀下列材料,再解答下列問題:
材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:將“x+y”看成整體,令x+y=A,則
原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再將“A”還原,得原式=(x+y+1)2.
上述解題用到的是“整體思想”,“整體思想”是數學解題中常用的一種思想方法,請你解答下列問題:
(1)因式分解:1+2(x-y)+(x-y)2=_______________;
(2)因式分解:(a+b)(a+b-4)+4;
(3)求*:若n為正整數,則式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數的平方.
【回答】
(1)(x-y+1)2;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
分析:(1)把(x-y)看作一個整體,直接利用完全平方公式因式分解即可;(2)令A=a+b,帶入後因式分解即可將原式因式分解;(3)將原式轉化為(n²+3n) 【(n+1)(n+2)】+1,進一步整理為(n²+3n+1) ²,根據n為正整數,從而説明原式是整數的平方.
本題解析:
(1).1+2(x-y)+(x+y) ²=(x﹣y+1)2;
(2)令A=a+b,則原式變為A(A﹣4)+4=A2﹣4A+4=(A﹣2)2,
故(a+b)(a+b﹣4)+4=(a+b﹣2)2;
(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)【(n+1)(n+2)】+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2,
∵n為正整數,
∴n2+3n+1也為正整數,
∴代數式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數的平方.
點睛;本題考查了因式分解的應用,解題的關鍵是認真審題你,理解題意,掌握整體思想解決問題.
知識點:因式分解
題型:解答題