如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（3，0），B（﹣          1，0），C（0，...

問題詳情：

如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c（a≠0）經過點 A（3，0），B（﹣         

 1，0），C（0，﹣3）．                                         

（1）求該拋物線的解析式；                                      

（2）若以點 A 為圓心的圓與直線 BC 相切於點 M，求切點 M 的座標；        

（3）若點 Q 在 x 軸上，點 P 在拋物線上，是否存在以點 B，C，Q，P 為頂點的 四邊形是平行四邊形？若存在，求點 P 的座標；若不存在，請説明理由．                              

【回答】

解：（1）把 A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入拋物線解析式得：        

，                                              

解得：， 則該拋物線解析式為 y=x2﹣2x﹣3；                                 

（2）設直線 BC 解析式為 y=kx﹣3，                              

把 B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即 k=﹣3，                         

∴直線 BC 解析式為 y=﹣3x﹣3，                                 

∴直線 AM 解析式為 y=x+m

把 A（3，0）代入得：1+m=0，即 m=﹣1，                          

∴直線 AM 解析式為 y=x﹣1， 聯立得：   ，                                  

解得：       ，                                      

則 M                                         

（3）存在以點 B，C，Q，P 為頂點的四邊形是平行四邊形， 分兩種情況考慮：         

設 Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），                              

當四邊形 BCQP 為平行四邊形時，由 B（﹣1，0），C（0，﹣3）， 根據平移規律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，

解得：m=1±，x=2±，                                     

當 m=1+時，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即 P（1+，2）；        

當 m=1﹣時，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即 P（1﹣，2）； 當四邊形 BCPQ 為平行四邊形時，由 B（﹣1，0），C（0，﹣3）， 根據平移規律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，          

解得：m=0 或 2，                                            

當 m=0 時，P（0，﹣3）（捨去）；當 m=2 時，P（2，﹣3），           

綜上，存在以點 B，C，Q，P 為頂點的四邊形是平行四邊形，P 的座標為（1+，          

2）或（1﹣，2）或（2，﹣3）．                               

知識點：各地中考

題型：解答題