已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於點C，OC＝3．（1）求...

問題詳情：

已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於點C，OC＝3．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的座標；

（2）過點A作AM⊥BC，垂足為M，求*：四邊形ADBM為正方形；

（3）點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當△PBC面積最大時，求點P的座標；

（4）若點Q為線段OC上的一動點，問：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）函數的表達式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

即：3a＝3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，

則頂點D（2，﹣1）；

（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，

則四邊形ADBM為菱形，而∠AMB＝90°，

∴四邊形ADBM為正方形；

（3）將點B、C的座標代入一次函數表達式：y＝mx+n並解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，

過點P作y軸的平行線交BC於點H，

設點P（x，x2﹣4x+3），則點H（x，﹣x+3），

則S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此時x＝，

故點P（，﹣）；

（4）存在，理由：

如上圖，過點C作與y軸夾角為30°的直線CH，過點A作AH⊥CH，垂足為H，

則HQ＝CQ，

AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，

直線HC所在表達式中的k值為，直線HC的表達式為：y＝x+3…①

則直線AH所在表達式中的k值為﹣，

則直線AH的表達式為：y＝﹣x+s，將點A的座標代入上式並解得：

則直線AH的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯立①②並解得：x＝，

故點H（，），而點A（1，0），

則AH＝，

即：AQ+QC的最小值為．

知識點：各地中考

題型：綜合題