如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直於y軸，交拋物線...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直於y軸，交拋物線於點D，DE垂直於x軸，垂足為E，直線l是該拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點． （1）求出該二次函數的表達式及點D的座標； （2）若Rt△AOC沿x軸向右平移，使其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分圖形的面積； （3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分圖形的面積記為S，求S與t之間的函數表達式，並寫出自變量t的取值範圍．

【回答】

解：（1）∵拋拋線y=ax2+bx+c經過點A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）， ∴拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-9）， ∵點C（0，4）在拋物線上， ∴4=-27a， ∴a=-， ∴拋物線的解析式為：y=-（x+3）（x-9）=-x2+x+4， ∵CD垂直於y軸，C（0，4）， 令-x2+x+4=4， 解得，x=0或x=6， ∴點D的座標為（6，4）； （2）如圖1所示，設A1F交CD於點G，O1F交CD於點H， ∵點F是拋物線y=-x2+x+4的頂點， ∴F（3，）， ∴FH=-4=， ∵GH∥A1O1， ∴△FGH∽△FA1O1， ∴， ∴， 解得，GH=1， ∵Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形是梯形A1O1HG， ∴S重疊部分=-S△FGH =A1O1•O1F-GH•FH = =； （3）①當0＜t≤3時，如圖2所示，設O2C2交OD於點M， ∵C2O2∥DE， ∴△OO2M∽△OED， ∴， ∴， ∴O2M=t， ∴S==OO2×O2M=t×t=t2； ②當3＜t≤6時，如圖3所示，設A2C2交OD於點M，O2C2交OD於點N， 將點D（6，4）代入y=kx， 得，k=， ∴yOD=x， 將點（t-3，0），（t，4）代入y=kx+b， 得，， 解得，k=，b=-t+4， ∴直線A2C2的解析式為：y=x-t+4， 聯立yOD=x與y=x-t+4， 得，x=x-t+4， 解得，x=-6+2t， ∴兩直線交點M座標為（-6+2t，-4+t）， 故點M到O2C2的距離為6-t， ∵C2N∥OC， ∴△DC2N∽△DCO， ∴， ∴， ∴C2N=（6-t）， ∴S==- =OA•OC-C2N（6-t） =×3×4-×（6-t）（6-t） =-t2+4t-6； ∴S與t的函數關係式為：S=． 【解析】

（1）將點A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出該二次函數表達式，因為CD垂直於y軸，所以令y=4，求出x的值，即可寫出點D座標； （2）設A1F交CD於點G，O1F交CD於點H，求出頂點座標，*△FGH∽△FA1O1，求出GH的長，因為Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形是梯形A1O1HG，所以S重疊部分=-S△FGH，即可求出結果； （3）當0＜t≤3時，設O2C2交OD於點M，*△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；當3＜t≤6時，設A2C2交OD於點M，O2C2交OD於點N，分別求出直線OD與直線A2C2的解析式，再求出其交點M的座標，*△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S==- 可求出S與t的函數表達式． 本題考查了待定係數法求解析式，相似三角形的判定與*質，三角形的面積等，解題關鍵是能夠根據題意畫圖，知道有些不規則圖形的面積可轉化為幾個規則圖形的面積和或差來求出．

知識點：各地中考

題型：綜合題