如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），交y軸於點C；(1) 求拋物線的解析式（用...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），交y軸於點C；

(1)  求拋物線的解析式（用一般式表示）；

(2)  點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使S△ABC=S△ABD？若存在請直接給出點D座標；若不存在請説明理由；

(3)  將直線BC繞點B順時針旋轉45°，與拋物線交於另一點E，求BE的長.

【回答】

解：

(1)  ∵拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

(2)  由題意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=ABOC=×5×2=5，

∵S△ABC=S△ABD，

∴S△ABD=×5=，

設D（x，y），

∴AB|y|=×5|y|=，解得|y|=3，

當y=3時，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此時D點座標為（1，3）或（2，3）；

當y=﹣3時，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（捨去）或x=5，此時D點座標為（5，﹣3）；

綜上可知存在滿足條件的點D，其座標為（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；

(3)  ∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴AC==，BC==2，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC，

如圖，設直線AC與直線BE交於點F，過F作FM⊥x軸於點M，

由題意可知∠FBC=45°，

∴∠CFB=45°，

∴CF=BC=2，

∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，

∴F（2，6），且B（4，0），

設直線BE解析式為y=kx+m，則可得，解得，

∴直線BE解析式為y=﹣3x+12，

聯立直線BE和拋物線解析式可得，解得或，

∴E（5，﹣3），

∴BE==．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：解答題