拋物線y＝x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如...

問題詳情：

拋物線y＝x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，拋物線頂點為E，EF⊥x軸於F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC＝90°，請指出實數m的變化範圍，並説明理由．

（3）如圖2，將拋物線平移，使其頂點E與原點O重合，直線y＝kx+2（k＞0）與拋物線相交於點P、Q（點P在左邊），過點P作x軸平行線交拋物線於點H，當k發生改變時，請説明直線QH過定點，並求定點座標．

【回答】

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A、C，

把點A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，作CH⊥EF於H，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點座標E（1，﹣4），

設N的座標為（1，n），﹣4≤n≤0

∵∠MNC＝90°，

∴∠CNH+∠MNF＝90°，

又∵∠CNH+∠NCH＝90°，

∴∠NCH＝∠MNF，

又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，

∴Rt△NCH∽△MNF，

∴，即

解得：m＝n2+3n+1＝，

∴當時，m最小值為；

當n＝﹣4時，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．

∴m的取值範圍是．

（3）設點P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵過點P作x軸平行線交拋物線於點H，

∴H（﹣x1，y1），

∵y＝kx+2，y＝x2，

消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，

x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，

設直線HQ表達式為y＝ax+t，

將點Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，

∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，

∴a＝x2﹣x1，

∵＝（ x2﹣x1）x2+t，

∴t＝﹣2，

∴直線HQ表達式為y＝（ x2﹣x1）x﹣2，

∴當k發生改變時，直線QH過定點，定點座標為（0，﹣2）．

知識點：相似三角形

題型：綜合題