問題詳情:
數學家斐波那契在其所著《計算之書》中,記有“二鳥飲泉”間題,題意如下:“如圖1,兩塔相距步,高分別為步和步.兩塔間有噴泉,塔頂各有一鳥.兩鳥同時自塔頂出發,沿直線飛往噴泉,同時抵達(假設兩鳥速度相同).求兩塔與噴泉中心之距.”如圖2,現有兩塔、,底部、相距12米,塔高3米,塔高9米.假設塔與地面垂直,小鳥飛行路線與兩塔在同一豎直平面內.
(1)若如《計算之書》所述,有飛行速度相同的兩鳥,同時從塔頂出發,同時抵達噴泉所在點,求噴泉距塔底的距離;
(2)若塔底、之間為噴泉形成的寬闊的水面,一隻小鳥從塔頂出發,飛抵水面、 之間的某點處飲水之後,飛到對面的塔頂處.求當小鳥飛行距離最短時,飲水點到塔底的距離.
【回答】
(1)9米;(2)3米.
【分析】
(1)設,列方程求解;
(2)作出關於的對稱點,與的交點就是最短距離的點,由此可計算出結論.
【詳解】
(1)設,則由題意,解得;
(2)設是關於直線的對稱點,連接交於,
是線段上任一點,如圖,,若且唯若與重合時,等號成立.點即為所求.
∵,∴,∴,而,∴,解得.
【點睛】
本題考查數學文化,考查數學的應用,解題關鍵是正確理解題意,抽象出數學問題,用相應的數學知識求解.
知識點:數學競賽
題型:解答題