問題詳情:
有人提出了一種不用火箭發*人造地球衞星的設想.其設想如下:沿地球的一條弦挖一通道,如圖*所示.在通道的兩個出口處A和B,分別將質量為M的物體和質量為m的待發*衞星同時自由釋放,只要M比m足夠大,碰撞後,質量為m的物體,即待發*的衞星就會從通道口B衝出通道.設待發衞星上有一種裝置,在待發衞星剛離開出口B時,立即把待發衞星的速度方向變為沿該處地球切線的方向,但不改變速度的大小.這樣待發衞星便有可能繞地心運動,成為一個人造衞星.若人造衞星正好沿地球表面繞地心做圓周運動,則地心到該通道的距離為多少?已知M=20m,地球半徑.假定地球是質量均勻分佈的球體,通道是光滑的,兩物體間的碰撞是**的.
【回答】
【解析】
位於通道內、質量為m的物體距地心O為r時(如圖乙所示),它受到地球的引力可以R。表示為
①
式中是以地心O為球心、以r為半徑的球體所對應的那部分地球的質量,若以表示地球的密度,此質量可以表示為
②
於是,質量為m的物體所受地球的引力可以改寫為
. ③
作用於質量為m的物體的引力在通道方向的分力的大小為
, ④
, ⑤
為r與通道的中垂線OC間的賣角,x為物*置到通道中點C的距離,力的方向指向通道的中點C.在地面上物體的重力可以表示為
⑥
式中是地球的質量。由上式可以得到
. ⑦
由以上各式可以求得
. ⑧
可見,f與*簧的*力有同樣的*質,相應的“勁度係數”為
. ⑨
物體將以C為平衡位置做簡諧振動,振動週期為.取x=0處為“**勢能”的零點,設位於通道出口處的質量為m的靜止物體到達x=0處的速度為,則根據能量守恆,有
, ⑩
式中h表示地心到通道的距離.
解以上有關各式,得
⑪
可見,到達通道中點C的速度與物體的質量無關.
設想讓質量為M的物體靜止於出口A處,質量為m的物體靜止於出口B處,現將它們同時釋放,因為它們的振動週期相同,故它們將同時到達通道中點C處,併發生**碰撞.碰撞前,兩物體速度的大小都是,方向相反,剛碰撞後,質量為M的物體的速度為V,質量為m的物體的速度為v,若規定速度方向由A向B為正,則有
, ⑫
⑬
解式⑫和式⑬,得.⑭
質量為m的物體是待發*的衞星,令它回到通道出口B處時的速度為u,則有
⑮
由式⑭⑮⑯和⑨解得
⑯
u的方向沿着通道.根據題意,衞星上的裝置可使u的方向改變成沿地球B處的切線方向,如果u的大小恰能使小衞星繞地球做圓周運動,則有
⑰
由式⑯⑰並注意到式⑥,可以得到,
已知,則得.
知識點:簡諧運動
題型:解答題