正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，則下列結論：①DF=FC...

問題詳情：

正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，則下列結論：①DF=FC；②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5；⑦ BF:EF=:5．其中結論正確的序號有_____．

【回答】

①②③④⑤⑥⑦

【解析】

設正方形的邊長為3，假設F為DC的中點，*進而*PE=PB可得假設成立，故可對①進行判斷；由勾股定理求出EF的長即可對② 進行判斷；過B作BG⊥EF，*即可對③進行判斷；過點E作EH⊥BF，利用三角形BEF的面積求出EH和BH的長，判斷△BEH是等腰直角三角形即可對④進行判斷；過F作 FQ//AD，利用平行線的*質得，從而可對⑤進行判斷；根據DE，DF，EF的長可對⑥進行判斷；根據BF和CF的長可對⑦進行判斷．

【詳解】

如圖，不妨設正方形ABCD的邊長為3，即，

，

，，

①假設F為CD的中點，延長EF交BC的延長線於點P，

在和中

由勾股定理得，，

，，

，

，故假設成立，

，故①正確；

②，，

，

而，

，故②正確；

③過B作，垂足為G，

而

在和中，

∴

，

即，故③正確；

④過E和，垂足為H，

在中，，，

在中，，

，

而

是等腰直角三角形，

，

，故④正確；

⑤過F作FQ// AD，交AB於Q，則FQ// BC，

，，

，

，故⑤正確；

⑥，，

，故⑥正確；

⑦，，

，故⑦正確；

綜上所述，正確的結論是①②③④⑤⑥⑦．

故*為：①②③④⑤⑥⑦．

【點睛】

本題考查了正方形的*質、等腰直角三角形的判定與*質、全等三角形的判定與*質、勾股定理等知識，假設出AB=3是解答此題的關鍵．

知識點：勾股定理

題型：填空題