問題詳情:
問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數量關係.
【發現*】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,從而發現EF=BE+FD,請你利用圖(1)*上述結論.
【類比引申】
如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足 關係時,仍有EF=BE+FD.
【探究應用】
如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=(40﹣40)米,現要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長為 米.
【回答】
*:如圖(1),∵△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴BE+DF=EF.
【類比引申】∠BAD=2∠EAF.
理由如下:如圖(2),延長CB至M,使BM=DF,連接AM,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠D=∠ABM,
在△ABM和△ADF中,
,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,
在△FAE和△MAE中,
,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
故*是:∠BAD=2∠EAF.
【探究應用】如圖3,把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG,連接AF,過A作AH⊥GD,垂足為H.
∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,
∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°,
∴△ABE是等邊三角形,
∴BE=AB=80米.
根據旋轉的*質得到:∠ADG=∠B=60°,
又∵∠ADF=120°,
∴∠GDF=180°,即點G在 CD的延長線上.
易得,△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵AH=80×=40,HF=HD+DF=40+40(﹣1)=40,
故∠HAF=45°,
∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°
從而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根據上述推論有:EF=BE+DF=80+40(﹣1)≈109(米),即這條道路EF的長約為109米.
故*是:109.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題