（1）如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，求*：EF=BE+FD;（2）如...

問題詳情：

（1）如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，求*：EF=BE+FD;

（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足什麼關係時，仍有EF=BE+FD，説明理由．

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC於E，AF⊥CD交CD延長線於F，若BC=8，CD=3，則CE=　    　.（不需*）

【回答】

（1）詳見解析；（2）∠BAD=2∠EAF，理由詳見解析；（3）5.5.

【分析】

（1）將△ABE繞點A旋轉使得AB與AD重合，然後*△AFG≌△AFE，再利用全等三角形對應的邊相等的*質不難*；

（2）首先延長CB至M，使BM=DF，連接AM，構造△ABM≌△ADF，再*△FAE≌△MAE，最後將相等的邊進行轉化整理即可*.

【詳解】

解（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，如圖1所示：

則△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°，

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中， ,       ，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF=EF．

又∵DG=BE，

∴GF=BE+DF，

∴BE+DF=EF．

（2）∠BAD=2∠EAF．理由如下：

如圖2所示，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，，

∴△ABM≌△ADF（SAS）

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF．

（3）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， 同理：Rt△ACE≌Rt△ACF， ∴CE=CF， ∴BC+CD=BE+CE+CF-DF=2CE， ∵BC=8，CD=3， ∴CE=5.5， 故*為：5.5．

【點睛】

此題是四邊形綜合題，考查了正方形的*質、旋轉的*質、全等三角形的判定與*質、角平分線的*質等知識；本題綜合*強，有一定難度，*三角形全等是解決問題的關鍵．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題