如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．下列結論：①CE=CF；②...

問題詳情：

如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．下列結論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正確的個數為（　　）

A．1       B．2       C．3       D．4

【回答】

C【考點】正方形的*質；全等三角形的判定與*質；等邊三角形的*質．

【分析】根據三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據角角之間的數量關係，以及三角形內角和為180°判斷②的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．

【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∵BC=DC，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，

∴CE=CF，

∴①説法正確；

∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∵∠AEF=60°，

∴∠AEB=75°，

∴②説法正確；

如圖，連接AC，交EF於G點，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，

∴③説法錯誤；

∵EF=2，

∴CE=CF=，

設正方形的邊長為a，

在Rt△ADF中，

a2+（a﹣）2=4，

解得a=，

則a2=2+，

∴S正方形ABCD=2+，

④説法正確，

∴正確的有①②④．

故選C．

【點評】本題主要考查正方形的*質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的*以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題