若*具有以下*質：①，；②若，則，且時，.則稱*是“好集”.（Ⅰ）分別判斷*，有理數集是否是“好集”，並...

問題詳情：

若*具有以下*質：①，；②若，則，且時，.

則稱*是“好集”.（Ⅰ）分別判斷*，有理數集是否是“好集”，並説明理由；

（Ⅱ）設*是“好集”，求*：若，則；（Ⅲ）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，並説明理由.命題：若，則必有；命題：若，且，則必有；

【回答】

解：（Ⅰ）*不是“好集”. 理由是：假設*是“好集”. 因為，，所以. 這與矛盾. 有理數集是“好集”. 因為，,對任意的，有，且時，.

所以有理數集是“好集”.

（Ⅱ）因為*是“好集”，所以 .若，則，即.所以，即.   

（Ⅲ）命題均為真命題. 理由如下： 對任意一個“好集”，任取，

若中有0或1時，顯然.下設均不為0，1. 由定義可知：.

所以 ，即.所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.若或，則顯然.若且，則.

所以 .所以 由（Ⅱ）可得：.所以 .

綜上可知，，即命題為真命題.若，且，則.所以 ，即命題為真命題.                       

知識點：*與函數的概念

題型：解答題