問題詳情:
已知函數(為自然對數的底數,為常數,並且).
(1)判斷函數在區間內是否存在極值點,並説明理由;
(2)若當時,恆成立,求整數的最小值.
【回答】
【詳解】(1),
令,則f'(x)=exg(x),
恆成立,所以g(x)在(1,e)上單調遞減,
所以g(x)<g(1)=a﹣1≤0,所以f'(x)=0在(1,e)內無解.
所以函數f(x)在區間(1,e)內無極值點.
(2)當a=ln2時,f(x)=ex(﹣x+lnx+ln2),定義域為(0,+∞),
,令,
由(Ⅰ)知,h(x)在(0,+∞)上單調遞減,又,h(1)=ln2﹣1<0,
所以存在,使得h(x1)=0,且當x∈(0,x1)時,h(x)>0,即f'(x)>0,
當x∈(x1,+∞)時,h(x)<0,即f'(x)<0.
所以f(x)在(0,x1)上單調遞增,在(x1,+∞)上單調遞減,
所以.
由h(x1)=0得,即,
所以,
令,則恆成立,
所以r(x)在上單調遞增,所以,所以f(x)max<0,
又因為,
所以﹣1<f(x)max<0,所以若f(x)<k(k∈Z)恆成立,則k的最小值為0.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題